1996 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题与解析

一、填空题

1. 求导

题目： 设 $y=\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$，则 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=$ ______。

答案： $\frac{1}{3}$。

解析： $y^{\prime}=\frac{2}{3}\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\right)$，代入 $x=0$，得 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{3}$。

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2. 定积分

题目： 求 $\int_{-1}^{1}\left(x+\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}\mathrm{~d}x$。

答案： $2$。

解析： 原式 $=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+2x\sqrt{1-x^{2}}+1-x^{2}\right)\mathrm{~d}x$。其中 $2x\sqrt{1-x^{2}}$ 为奇函数，故原式 $=\int_{-1}^{1}1\mathrm{~d}x=2$。

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3. 微分方程

题目： 微分方程 $y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0$ 的通解为 ______。

答案： $y=e^{-x}\left(C_{1}\cos 2x+C_{2}\sin 2x\right)$，其中 $C_{1},C_{2}$ 为任意常数。

解析： 特征方程为 $\lambda^{2}+2\lambda+5=0$，特征根为 $\lambda_{1,2}=-1\pm 2i$，故通解为 $y=e^{-x}\left(C_{1}\cos 2x+C_{2}\sin 2x\right)$。

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4. 极限

题目： 求 $\lim_{x \to \infty}x\left[\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$。

答案： $2$。

解析： 由拉格朗日中值定理，$\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\cos \xi\left[\ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$。当 $x\to\infty$ 时，$\cos \xi\to 1$，故原极限为 $\lim_{x \to \infty}x\ln \frac{x+3}{x+1}=2$。

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5. 平面图形面积

题目： 由曲线 $y=x+\frac{1}{x}$，$x=2$ 及 $y=2$ 所围图形的面积 $S=$ ______。

答案： $\ln 2-\frac{1}{2}$。

解析： 由 $x+\frac{1}{x}=2$ 得 $x=1$，故 $S=\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}-2\right)\mathrm{~d}x=\ln 2-\frac{1}{2}$。

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二、选择题

1. 高阶无穷小

题目： 设当 $x \to 0$ 时，$e^{x}-\left(ax^{2}+bx+1\right)$ 是比 $x^{2}$ 高阶的无穷小，则（ ）

A. $a=\frac{1}{2},b=1$。
B. $a=1,b=1$。
C. $a=-\frac{1}{2},b=-1$。
D. $a=-1,b=1$。

答案： A。

解析： 由 $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)$，得 $e^{x}-\left(ax^{2}+bx+1\right)=\left(1-b\right)x+\left(\frac{1}{2}-a\right)x^{2}+o\left(x^{2}\right)$。故 $b=1,a=\frac{1}{2}$，选 A。

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2. 连续与可导

题目： 设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(-\delta,\delta\right)$ 内有定义，若当 $x\in\left(-\delta,\delta\right)$ 时，恒有 $\left|f\left(x\right)\right|\le x^{2}$，则 $x=0$ 必是 $f\left(x\right)$ 的（ ）

A. 间断点。
B. 连续而不可导的点。
C. 可导的点，且 $f^{\prime}\left(0\right)=0$。
D. 可导的点，且 $f^{\prime}\left(0\right)\ne 0$。

答案： C。

解析： 由 $\left|f\left(0\right)\right|\le 0$ 得 $f\left(0\right)=0$。又 $\left|\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}\right|\le \left|x\right|$，故 $f^{\prime}\left(0\right)=0$，选 C。

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3. 函数与导数极限

题目： 设 $f\left(x\right)$ 处处可导，则（ ）

A. 当 $\lim_{x \to -\infty}f\left(x\right)=-\infty$，必有 $\lim_{x \to -\infty}f^{\prime}\left(x\right)=-\infty$。
B. 当 $\lim_{x \to -\infty}f\left(x\right)=+\infty$，必有 $\lim_{x \to -\infty}f^{\prime}\left(x\right)=-\infty$。
C. 当 $\lim_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty$，必有 $\lim_{x \to +\infty}f^{\prime}\left(x\right)=+\infty$。
D. 当 $\lim_{x \to +\infty}f^{\prime}\left(x\right)=+\infty$，必有 $\lim_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty$。

答案： D。

解析： 若 $\lim_{x \to +\infty}f^{\prime}\left(x\right)=+\infty$，则充分大的 $x$ 有 $f^{\prime}\left(x\right)>1$。由中值定理可知 $f\left(x\right)$ 趋于 $+\infty$，选 D。

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4. 方程实根个数

题目： 在区间 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 内，方程 $\left|x\right|^{\frac{1}{4}}+\left|x\right|^{\frac{1}{2}}-\cos x=0$（ ）

A. 无实根。
B. 有且仅有一个实根。
C. 有且仅有两个实根。
D. 有无穷多个实根。

答案： C。

解析： 令 $f\left(x\right)=\left|x\right|^{\frac{1}{4}}+\left|x\right|^{\frac{1}{2}}-\cos x$。$f\left(x\right)$ 为偶函数，且在 $\left(0,1\right)$ 内单调递增，满足 $f\left(0\right)=-1$，$f\left(1\right)=2-\cos 1>0$，故正半轴有唯一零点。由偶性知原方程有且仅有两个实根，选 C。

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5. 旋转体体积

题目： 设 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上连续，且 $g\left(x\right)<f\left(x\right)<m$，$m$ 为常数。由曲线 $y=g\left(x\right),y=f\left(x\right),x=a$ 及 $x=b$ 所围平面图形绕直线 $y=m$ 旋转而成的旋转体体积为（ ）

A. $\int_{a}^{b}\pi\left[2m-f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{~d}x$。
B. $\int_{a}^{b}\pi\left[2m-f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{~d}x$。
C. $\int_{a}^{b}\pi\left[m-f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{~d}x$。
D. $\int_{a}^{b}\pi\left[m-f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{~d}x$。

答案： B。

解析： 体积微元为 $\mathrm{d}V=\pi\left\{\left[m-g\left(x\right)\right]^{2}-\left[m-f\left(x\right)\right]^{2}\right\}\mathrm{d}x$，化简得 $V=\int_{a}^{b}\pi\left[2m-f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{~d}x$，选 B。

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三、计算题

1. 定积分

题目： 计算 $\int_{0}^{\ln 2}\sqrt{1-e^{-2x}}\mathrm{~d}x$。

解析： 令 $t=\sqrt{1-e^{-2x}}$，则 $t:0\to \frac{\sqrt{3}}{2}$，原式 $=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{t^{2}}{1-t^{2}}\mathrm{~d}t=\ln \left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

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2. 不定积分

题目： 求 $\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}$。

解析： $\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}=\int \frac{1-\sin x}{\cos^{2}x}\mathrm{~d}x=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C$。

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3. 参数方程求二阶导数

题目： 设 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_{0}^{t}f\left(u^{2}\right)\mathrm{~d}u,\\y=\left[f\left(t^{2}\right)\right]^{2},\end{array}\right.$ 其中 $f\left(u\right)$ 具有二阶导数，且 $f\left(u\right)\ne 0$，求 $y^{\prime\prime}$。

解析： 由 $x^{\prime}\left(t\right)=f\left(t^{2}\right)$，$y^{\prime}\left(t\right)=4tf\left(t^{2}\right)f^{\prime}\left(t^{2}\right)$，得 $y^{\prime}=4tf^{\prime}\left(t^{2}\right)$。因此 $y^{\prime\prime}=\frac{4f^{\prime}\left(t^{2}\right)+8t^{2}f^{\prime\prime}\left(t^{2}\right)}{f\left(t^{2}\right)}$。

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4. 麦克劳林展开式

题目： 求函数 $f\left(x\right)=\frac{1-x}{1+x}$ 在点 $x=0$ 处带拉格朗日型余项的 $n$ 阶麦克劳林展开式。

解析： 因为 $f\left(x\right)=-1+\frac{2}{1+x}$，所以 $f\left(x\right)=1-2x+2x^{2}-\cdots+\left(-1\right)^{n}2x^{n}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}2}{\left(1+\theta x\right)^{n+2}}x^{n+1}$，其中 $0<\theta<1$。

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5. 微分方程通解

题目： 求微分方程 $y^{\prime\prime}+y^{\prime}=x^{2}$ 的通解。

解析： 齐次方程的通解为 $C_{1}+C_{2}e^{-x}$。设特解为 $ax^{3}+bx^{2}+cx$，代入得 $a=\frac{1}{3}$，$b=-1$，$c=2$。故通解为 $y=C_{1}+C_{2}e^{-x}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+2x$。

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6. 楔形体体积

题目： 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 $2a,2b$，用过此柱体底面的短轴且与底面成 $\alpha$ 角的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积 $V$。

解析： 取 $\left[y,y+\mathrm{d}y\right]\subset\left[-b,b\right]$。由 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，得 $x=\frac{a}{b}\sqrt{b^{2}-y^{2}}$，截面面积 $A\left(y\right)=\frac{a^{2}}{2b^{2}}\tan \alpha\left(b^{2}-y^{2}\right)$。故 $V=\int_{-b}^{b}A\left(y\right)\mathrm{~d}y=\frac{2a^{2}b}{3}\tan \alpha$。

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四、不定积分

题目： 计算不定积分 $\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}\mathrm{~d}x$。

解析： 分部积分可得 $\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)}\mathrm{~d}x=-\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{2}\ln \frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\frac{1}{2}\left(\arctan x\right)^{2}+C$。

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五、反函数

题目： 设函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1-2x^{2}, & x<-1,\\x^{3}, & -1\le x\le 2,\\12x-16, & x>2.\end{array}\right.$

（1）写出 $f\left(x\right)$ 的反函数 $g\left(x\right)$ 的表达式；
（2）$g\left(x\right)$ 是否有间断点、不可导点？若有，指出这些点。

1. 反函数表达式

解析： 由各段值域可得 $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-\sqrt{\frac{1-x}{2}}, & x<-1,\\\sqrt[3]{x}, & -1\le x\le 8,\\\frac{x+16}{12}, & x>8.\end{array}\right.$

2. 间断点与不可导点

解析： $g\left(x\right)$ 在 $x=-1$ 与 $x=8$ 处均连续，故无间断点。又 $g_{-}^{\prime}\left(-1\right)=\frac{1}{4}$，$g_{+}^{\prime}\left(-1\right)=\frac{1}{3}$，且 $\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处不可导；$g_{-}^{\prime}\left(8\right)=g_{+}^{\prime}\left(8\right)=\frac{1}{12}$。故不可导点为 $x=-1$ 与 $x=0$。

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六、隐函数驻点

题目： 设函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $2y^{3}-2y^{2}+2xy-x^{2}=1$ 所确定，试求 $y=y\left(x\right)$ 的驻点，并判别它是否为极值点。

解析： 两边求导，得 $6y^{2}y^{\prime}-4yy^{\prime}+2y+2xy^{\prime}-2x=0$。令 $y^{\prime}=0$，得 $y=x$，代入原方程得 $x=1,y=1$。再求导并代入 $x=1,y=1,y^{\prime}=0$，得 $y^{\prime\prime}\left(1\right)=\frac{1}{2}>0$。故驻点为 $\left(1,1\right)$，且为极小值点。

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七、零点与二阶导数

题目： 设 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,b\right]$ 上具有二阶导数，且 $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0$，$f^{\prime}\left(a\right)f^{\prime}\left(b\right)>0$。证明：存在 $\xi\in\left(a,b\right)$ 和 $\eta\in\left(a,b\right)$，使 $f\left(\xi\right)=0$ 及 $f^{\prime\prime}\left(\eta\right)=0$。

解析： 不妨设 $f^{\prime}\left(a\right)>0,f^{\prime}\left(b\right)>0$。则 $a$ 右侧有 $f\left(x\right)>0$，$b$ 左侧有 $f\left(x\right)<0$，由零点定理，存在 $\xi\in\left(a,b\right)$，使 $f\left(\xi\right)=0$。又 $f\left(a\right)=f\left(\xi\right)=f\left(b\right)=0$，两次应用罗尔定理，得存在 $\eta\in\left(a,b\right)$，使 $f^{\prime\prime}\left(\eta\right)=0$。

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八、初值问题与估计

题目： 设 $f\left(x\right)$ 为连续函数。

（1）求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+ay=f\left(x\right),\\\left.y\right|_{x=0}=0,\end{array}\right.$ 的解 $y\left(x\right)$，其中 $a$ 是正常数；
（2）若 $\left|f\left(x\right)\right|\le k\left(k\text{ 为常数}\right)$，证明：当 $x\ge 0$ 时，有 $\left|y\left(x\right)\right|\le \frac{k}{a}\left(1-e^{-ax}\right)$。

1. 求解初值问题

解析： 由一阶线性方程公式，$y=e^{-ax}\left[\int_{0}^{x}f\left(t\right)e^{at}\mathrm{~d}t+C\right]$。由 $y\left(0\right)=0$ 得 $C=0$，故 $y\left(x\right)=e^{-ax}\int_{0}^{x}f\left(t\right)e^{at}\mathrm{~d}t$。

2. 证明估计式

解析： 当 $x\ge 0$ 时，$\left|y\left(x\right)\right|\le e^{-ax}\int_{0}^{x}\left|f\left(t\right)\right|e^{at}\mathrm{~d}t\le e^{-ax}\int_{0}^{x}ke^{at}\mathrm{~d}t=\frac{k}{a}\left(1-e^{-ax}\right)$。