1995 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题与解析

一、填空题

1. 求导

题目： 设 $y=\cos \left(x^{2}\right)\sin^{2}\frac{1}{x}$，则 $y^{\prime}=$ ______。

答案： $-2x\sin \left(x^{2}\right)\sin^{2}\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\cos \left(x^{2}\right)\sin \frac{2}{x}$。

解析： 由乘积求导法则，$y^{\prime}=-2x\sin \left(x^{2}\right)\sin^{2}\frac{1}{x}+\cos \left(x^{2}\right)\cdot 2\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-2x\sin \left(x^{2}\right)\sin^{2}\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\cos \left(x^{2}\right)\sin \frac{2}{x}$。

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2. 微分方程通解

题目： 微分方程 $y^{\prime\prime}+y=-2x$ 的通解为 ______。

答案： $y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x-2x$，其中 $C_{1},C_{2}$ 为任意常数。

解析： 齐次通解为 $C_{1}\cos x+C_{2}\sin x$，非齐次方程的一个特解为 $-2x$，故通解为 $y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x-2x$。

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3. 参数方程切线

题目： 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{2},\\y=t^{3}\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处的切线方程为 ______。

答案： $y=3x-7$。

解析： 当 $t=2$ 时，$x=5,y=8$。又 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3t}{2}$，故斜率为 $3$，切线方程为 $y-8=3\left(x-5\right)$，即 $y=3x-7$。

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4. 极限

题目： 求 $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)$。

答案： $\frac{1}{2}$。

解析： 由 $\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}+n+n}\le \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}+n+k}\le \frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}+n+1}$，且两端极限均为 $\frac{1}{2}$，故原极限为 $\frac{1}{2}$。

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5. 渐近线

题目： 曲线 $y=x^{2}e^{-x^{2}}$ 的渐近线方程为 ______。

答案： $y=0$。

解析： 因为 $\lim_{x \to \infty}x^{2}e^{-x^{2}}=0$，所以 $y=0$ 为曲线的水平渐近线。

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二、选择题

1. 间断点判断

题目： 设 $f\left(x\right)$ 和 $\varphi\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上有定义，$f\left(x\right)$ 为连续函数，且 $f\left(x\right)\ne 0$，$\varphi\left(x\right)$ 有间断点，则（ ）

A. $\varphi\left[f\left(x\right)\right]$ 必有间断点。
B. $\left[\varphi\left(x\right)\right]^{2}$ 必有间断点。
C. $f\left[\varphi\left(x\right)\right]$ 必有间断点。
D. $\frac{\varphi\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ 必有间断点。

答案： D。

解析： 若 $\frac{\varphi\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ 连续，则 $\varphi\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot \frac{\varphi\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ 也连续，与 $\varphi\left(x\right)$ 有间断点矛盾，故选 D。

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2. 面积表示

题目： 曲线 $y=x\left(x-1\right)\left(2-x\right)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积可表示为（ ）

A. $-\int_{0}^{2}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x$。
B. $\int_{0}^{1}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x-\int_{1}^{2}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x$。
C. $-\int_{0}^{1}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x+\int_{1}^{2}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x$。
D. $\int_{0}^{2}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x$。

答案： C。

解析： 当 $0<x<1$ 时，$y<0$；当 $1<x<2$ 时，$y>0$。故面积为 $-\int_{0}^{1}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x+\int_{1}^{2}x\left(x-1\right)\left(2-x\right)\mathrm{~d}x$。

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3. 单调性

题目： 设 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 内可导，且对任意 $x_{1},x_{2}$，当 $x_{1}>x_{2}$ 时，都有 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$，则（ ）

A. 对任意 $x$，$f^{\prime}\left(x\right)>0$。
B. 对任意 $x$，$f^{\prime}\left(-x\right)<0$。
C. 函数 $f\left(-x\right)$ 单调增加。
D. 函数 $-f\left(-x\right)$ 单调增加。

答案： D。

解析： 因为 $f\left(x\right)$ 严格递增，故 $f\left(-x\right)$ 严格递减，从而 $-f\left(-x\right)$ 单调增加，选 D。

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4. 凸函数与中值定理

题目： 设函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上 $f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$，则 $f^{\prime}\left(1\right)$，$f^{\prime}\left(0\right)$，$f\left(1\right)-f\left(0\right)$ 或 $f\left(0\right)-f\left(1\right)$ 的大小顺序是（ ）

A. $f^{\prime}\left(1\right)>f^{\prime}\left(0\right)>f\left(1\right)-f\left(0\right)$。
B. $f^{\prime}\left(1\right)>f\left(1\right)-f\left(0\right)>f^{\prime}\left(0\right)$。
C. $f\left(1\right)-f\left(0\right)>f^{\prime}\left(1\right)>f^{\prime}\left(0\right)$。
D. $f^{\prime}\left(1\right)>f\left(0\right)-f\left(1\right)>f^{\prime}\left(0\right)$。

答案： B。

解析： 由拉格朗日中值定理，$f\left(1\right)-f\left(0\right)=f^{\prime}\left(c\right)$，其中 $0<c<1$。又 $f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$，所以 $f^{\prime}\left(x\right)$ 单调递增，故 $f^{\prime}\left(1\right)>f\left(1\right)-f\left(0\right)>f^{\prime}\left(0\right)$。

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5. 可导性

题目： 设 $f\left(x\right)$ 可导，$F\left(x\right)=f\left(x\right)\left(1+\left|\sin x\right|\right)$。若 $F\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导，则必有（ ）

A. $f\left(0\right)=0$。
B. $f^{\prime}\left(0\right)=0$。
C. $f\left(0\right)+f^{\prime}\left(0\right)=0$。
D. $f\left(0\right)-f^{\prime}\left(0\right)=0$。

答案： A。

解析： 左导数为 $F_{-}^{\prime}\left(0\right)=f^{\prime}\left(0\right)-f\left(0\right)$，右导数为 $F_{+}^{\prime}\left(0\right)=f^{\prime}\left(0\right)+f\left(0\right)$。由左右导数相等，得 $f\left(0\right)=0$。

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三、计算题

1. 极限

题目： 求 $\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x\left(1-\cos \sqrt{x}\right)}$。

解析： $\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x\left(1-\cos \sqrt{x}\right)}=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\cdot \frac{1-\cos x}{x\left(1-\cos \sqrt{x}\right)}=\frac{1}{2}$。

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2. 隐函数求二阶导数

题目： 设函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $xe^{f\left(y\right)}=e^{y}$ 确定，其中 $f$ 具有三阶导数，且 $f^{\prime}\ne 1$，求 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。

解析： 由 $\ln x+f\left(y\right)=y$，得 $y^{\prime}=\frac{1}{x\left[1-f^{\prime}\left(y\right)\right]}$。再求导，得 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{\left[1-f^{\prime}\left(y\right)\right]^{2}-f^{\prime\prime}\left(y\right)}{x^{2}\left[1-f^{\prime}\left(y\right)\right]^{3}}$。

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3. 函数关系与积分

题目： 设 $f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$，且 $f\left[\varphi\left(x\right)\right]=\ln x$，求 $\int \varphi\left(x\right)\mathrm{~d}x$。

解析： 由题意得 $f\left(x\right)=\ln \frac{x+1}{x-1}$。于是 $\ln \frac{\varphi\left(x\right)+1}{\varphi\left(x\right)-1}=\ln x$，故 $\varphi\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}$。因此 $\int \varphi\left(x\right)\mathrm{~d}x=\int \frac{x+1}{x-1}\mathrm{~d}x=x+2\ln \left|x-1\right|+C$。

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4. 导函数连续性

题目： 设 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x\arctan \frac{1}{x^{2}}, & x\ne 0,\\0, & x=0,\end{array}\right.$ 试讨论 $f^{\prime}\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处的连续性。

解析： 当 $x\ne 0$ 时，$f^{\prime}\left(x\right)=\arctan \frac{1}{x^{2}}-\frac{2x^{2}}{1+x^{4}}$。又 $f^{\prime}\left(0\right)=\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\frac{\pi}{2}$，且 $\lim_{x \to 0}f^{\prime}\left(x\right)=\frac{\pi}{2}$，故 $f^{\prime}\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续。

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5. 弧长

题目： 求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\cos t,\\y=t-\sin t\end{array}\right.$ 一拱 $\left(0\le t\le 2\pi\right)$ 的弧长 $S$。

解析： $S=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^{2}}\mathrm{~d}t=\int_{0}^{2\pi}2\left|\sin \frac{t}{2}\right|\mathrm{~d}t=8$。

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6. 直线运动

题目： 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 $\left.v\right|_{t=0}=v_{0}$。已知阻力与速度成正比，比例常数为 $1$，问 $t$ 为多少时此质点的速度为 $\frac{v_{0}}{3}$？并求到此时刻该质点所经过的路程。

解析： 由 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-v$ 得 $v\left(t\right)=v_{0}e^{-t}$。令 $v\left(t\right)=\frac{v_{0}}{3}$，得 $t=\ln 3$。路程为 $S=\int_{0}^{\ln 3}v_{0}e^{-t}\mathrm{~d}t=\frac{2}{3}v_{0}$。

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四、函数最值

题目： 求函数 $f\left(x\right)=\int_{0}^{x^{2}}\left(2-t\right)e^{-t}\mathrm{~d}t$ 的最大值和最小值。

解析： $f\left(x\right)$ 为偶函数，只需研究 $\left[0,+\infty\right)$。由 $f^{\prime}\left(x\right)=2x\left(2-x^{2}\right)e^{-x^{2}}$，知 $x=\sqrt{2}$ 为最大值点，最大值为 $f\left(\sqrt{2}\right)=\int_{0}^{2}\left(2-t\right)e^{-t}\mathrm{~d}t=1+e^{-2}$。又 $f\left(0\right)=0$，$\lim_{x \to +\infty}f\left(x\right)=1$，故最小值为 $0$。

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五、微分方程特解

题目： 设 $y=e^{x}$ 是微分方程 $xy^{\prime}+p\left(x\right)y=x$ 的一个解，求此微分方程满足条件 $\left.y\right|_{x=\ln 2}=0$ 的特解。

解析： 将 $y=e^{x}$ 代入，得 $p\left(x\right)=x\left(e^{-x}-1\right)$，原方程化为 $y^{\prime}+\left(e^{-x}-1\right)y=1$。其通解为 $y=Ce^{x+e^{-x}}+e^{x}$。由 $y\left(\ln 2\right)=0$ 得 $C=-e^{-\frac{1}{2}}$，故特解为 $y=e^{x}-e^{x+e^{-x}-\frac{1}{2}}$。

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六、曲率圆圆心坐标

题目： 如图，设曲线 $L$ 的方程为 $y=f\left(x\right)$，且 $y^{\prime\prime}>0$。又 $MT,MP$ 分别为该曲线在点 $M\left(x_{0},y_{0}\right)$ 处的切线和法线。已知线段 $MP$ 的长度为 $\frac{\left(1+y_{0}^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{y_{0}^{\prime\prime}}$，其中 $y_{0}^{\prime}=y^{\prime}\left(x_{0}\right),y_{0}^{\prime\prime}=y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)$，试推导出点 $P\left(\xi,\eta\right)$ 的坐标表达式。

解析： 由题设及 $PM\perp MT$，有 $\left(x_{0}-\xi\right)^{2}+\left(y_{0}-\eta\right)^{2}=\frac{\left(1+y_{0}^{\prime 2}\right)^{3}}{y_{0}^{\prime\prime 2}}$，且 $y_{0}^{\prime}=-\frac{x_{0}-\xi}{y_{0}-\eta}$。联立并由 $y^{\prime\prime}>0$ 知 $y_{0}-\eta<0$，故 $y_{0}-\eta=-\frac{1+y_{0}^{\prime 2}}{y_{0}^{\prime\prime}}$，$x_{0}-\xi=\frac{y_{0}^{\prime}\left(1+y_{0}^{\prime 2}\right)}{y_{0}^{\prime\prime}}$。因此 $\xi=x_{0}-\frac{y_{0}^{\prime}\left(1+y_{0}^{\prime 2}\right)}{y_{0}^{\prime\prime}},\eta=y_{0}+\frac{1+y_{0}^{\prime 2}}{y_{0}^{\prime\prime}}$。

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七、定积分

题目： 设 $f\left(x\right)=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{\pi-t}\mathrm{~d}t$，计算 $\int_{0}^{\pi}f\left(x\right)\mathrm{~d}x$。

解析： 分部积分得 $\int_{0}^{\pi}f\left(x\right)\mathrm{~d}x=\left.xf\left(x\right)\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{\pi-x}\mathrm{~d}x$。又 $\left.xf\left(x\right)\right|_{0}^{\pi}=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi\sin x}{\pi-x}\mathrm{~d}x$，故原式 $=\int_{0}^{\pi}\sin x\mathrm{~d}x=2$。

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八、不等式证明

题目： 设 $\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}=1$，且 $f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$，证明 $f\left(x\right)\ge x$。

解析： 由 $\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}=1$，得 $f\left(0\right)=0$，$f^{\prime}\left(0\right)=1$。由泰勒公式，$f\left(x\right)=f\left(0\right)+f^{\prime}\left(0\right)x+\frac{f^{\prime\prime}\left(\xi\right)}{2}x^{2}$，其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。因 $f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$，故 $f\left(x\right)\ge x$。