1994 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题与解析

一、填空题

1. 连续性

题目： 若 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}, & x\ne 0,\\a, & x=0,\end{array}\right.$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上连续，则 $a=$ ______。

答案： $-2$。

解析： 由连续性知 $f\left(0\right)=\lim_{x \to 0}f\left(x\right)$。又 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}=2+2a$，故 $2+2a=a$，得 $a=-2$。

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2. 参数方程求导

题目： 设函数 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\ln \left(1+t\right),\\y=t^{3}+t^{2}\end{array}\right.$ 所确定，则 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=$ ______。

答案： $\frac{\left(6t+5\right)\left(t+1\right)}{t}$。

解析： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^{2}+2t}{1-\frac{1}{1+t}}=\left(3t+2\right)\left(t+1\right)=3t^{2}+5t+2$，所以 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{6t+5}{1-\frac{1}{1+t}}=\frac{\left(6t+5\right)\left(t+1\right)}{t}$。

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3. 变上限积分求导

题目： 求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{0}^{\cos 3x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t\right)$。

答案： $-3f\left(\cos 3x\right)\sin 3x$。

解析： 由变上限积分求导公式，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{0}^{\cos 3x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t\right)=f\left(\cos 3x\right)\left(-3\sin 3x\right)=-3f\left(\cos 3x\right)\sin 3x$。

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4. 不定积分

题目： 求 $\int x^{3}e^{x^{2}}\mathrm{~d}x$。

答案： $\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)e^{x^{2}}+C$，其中 $C$ 为任意常数。

解析： 令 $t=x^{2}$，则 $\int x^{3}e^{x^{2}}\mathrm{~d}x=\frac{1}{2}\int te^{t}\mathrm{~d}t=\frac{1}{2}\left(t-1\right)e^{t}+C=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)e^{x^{2}}+C$。

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5. 微分方程

题目： 微分方程 $y\mathrm{d}x+\left(x^{2}-4x\right)\mathrm{d}y=0$ 的通解为 ______。

答案： $\left(x-4\right)y^{4}=Cx$，其中 $C$ 为任意常数。

解析： 分离变量得 $\frac{\mathrm{d}y}{y}+\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}-4x}=0$。积分得 $\ln y+\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-4}{x}\right|=\ln C$，故通解为 $\left(x-4\right)y^{4}=Cx$。

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二、选择题

1. 极限与待定系数

题目： 设 $\lim_{x \to 0}\frac{\ln \left(1+x\right)-\left(ax+bx^{2}\right)}{x^{2}}=2$，则（ ）

A. $a=1,b=-\frac{5}{2}$。
B. $a=0,b=-2$。
C. $a=0,b=-\frac{5}{2}$。
D. $a=1,b=-2$。

答案： A。

解析： 由 $\ln \left(1+x\right)=x-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)$，得 $\ln \left(1+x\right)-\left(ax+bx^{2}\right)=\left(1-a\right)x-\left(b+\frac{1}{2}\right)x^{2}+o\left(x^{2}\right)$。故 $1-a=0$，$-\left(b+\frac{1}{2}\right)=2$，即 $a=1,b=-\frac{5}{2}$。

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2. 左右导数

题目： 设 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}x^{3}, & x\le 1,\\x^{2}, & x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(x\right)$ 在点 $x=1$ 处的（ ）

A. 左、右导数都存在。
B. 左导数存在，但右导数不存在。
C. 左导数不存在，但右导数存在。
D. 左、右导数都不存在。

答案： B。

解析： $f\left(1\right)=\frac{2}{3}$。左导数为 $\lim_{x \to 1^{-}}\frac{\frac{2}{3}x^{3}-\frac{2}{3}}{x-1}=2$；右导数为 $\lim_{x \to 1^{+}}\frac{x^{2}-\frac{2}{3}}{x-1}=+\infty$，不存在。故选 B。

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3. 极值判定

题目： 设 $y=f\left(x\right)$ 是满足微分方程 $y^{\prime\prime}+y^{\prime}-e^{\sin x}=0$ 的解，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$，则 $f\left(x\right)$ 在（ ）

A. $x_{0}$ 的某个邻域内单调增加。
B. $x_{0}$ 的某个邻域内单调减少。
C. $x_{0}$ 处取得极小值。
D. $x_{0}$ 处取得极大值。

答案： C。

解析： 由方程得 $f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=e^{\sin x_{0}}>0$，又 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$，所以 $f\left(x\right)$ 在 $x_{0}$ 处取得极小值。

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4. 渐近线

题目： 曲线 $y=e^{\frac{1}{x}}\arctan \frac{x^{2}+x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$ 的渐近线有（ ）

A. $1$ 条。
B. $2$ 条。
C. $3$ 条。
D. $4$ 条。

答案： B。

解析： $\lim_{x \to +\infty}y=\frac{\pi}{4}$，故 $y=\frac{\pi}{4}$ 为水平渐近线；$x=1$ 与 $x=-2$ 处极限有限，不是铅直渐近线；而 $\lim_{x \to 0^{+}}y=-\infty$，故 $x=0$ 为铅直渐近线。因此共有 $2$ 条渐近线。

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5. 定积分大小比较

题目： 设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^{4}x\mathrm{~d}x$，$N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin^{3}x+\cos^{4}x\right)\mathrm{~d}x$，$P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2}\sin^{3}x-\cos^{4}x\right)\mathrm{~d}x$，则有（ ）

A. $N<P<M$。
B. $M<P<N$。
C. $N<M<P$。
D. $P<M<N$。

答案： D。

解析： 由奇偶性得 $M=0$，$N=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}x\mathrm{~d}x=\frac{3\pi}{8}$，$P=-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}x\mathrm{~d}x=-\frac{3\pi}{8}$，故 $P<M<N$。

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三、计算题

1. 隐函数二阶导数

题目： 设 $y=f\left(x+y\right)$，其中 $f$ 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 $1$，求 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。

解析： 两边对 $x$ 求导，得 $y^{\prime}=f^{\prime}\left(x+y\right)\left(1+y^{\prime}\right)$，即 $y^{\prime}=\frac{f^{\prime}\left(x+y\right)}{1-f^{\prime}\left(x+y\right)}$。再求导整理得 $\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{f^{\prime\prime}\left(x+y\right)}{\left[1-f^{\prime}\left(x+y\right)\right]^{3}}$。

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2. 定积分

题目： 计算 $\int_{0}^{1}x\left(1-x^{4}\right)^{\frac{3}{2}}\mathrm{~d}x$。

解析： 令 $u=x^{2}$，再令 $u=\sin t$，则 $\int_{0}^{1}x\left(1-x^{4}\right)^{\frac{3}{2}}\mathrm{~d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\mathrm{~d}u=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}t\mathrm{~d}t=\frac{3\pi}{32}$。

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3. 极限

题目： 计算 $\lim_{n \to \infty}\tan^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{n}\right)$。

解析： $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{n}\right)=\frac{1+\tan \frac{2}{n}}{1-\tan \frac{2}{n}}$，故 $\lim_{n \to \infty}\tan^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{n}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1+\tan \frac{2}{n}}{1-\tan \frac{2}{n}}\right)^{n}=e^{4}$。

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4. 不定积分

题目： 计算 $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}$。

解析： 原式 $=\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin x\left(\cos x+1\right)}$。令 $u=\cos x$，则原式 $=-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}u}{\left(1-u\right)\left(1+u\right)^{2}}=\frac{1}{8}\left[\ln \left|1-\cos x\right|-\ln \left|1+\cos x\right|+\frac{2}{1+\cos x}\right]+C$。

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5. 面积比证明

题目： 如图，设曲线方程为 $y=x^{2}+\frac{1}{2}$，梯形 $OABC$ 的面积为 $D$，曲边梯形 $OABC$ 的面积为 $D_{1}$，点 $A$ 的坐标为 $\left(a,0\right)$，$a>0$。证明：$\frac{D}{D_{1}}<\frac{3}{2}$。

解析： 点 $B$ 的坐标为 $\left(a,a^{2}+\frac{1}{2}\right)$，所以 $D=\frac{\left(a^{2}+1\right)a}{2}$。又 $D_{1}=\int_{0}^{a}\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)\mathrm{~d}x=\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{2}a$。于是 $\frac{D}{D_{1}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a^{2}+1}{a^{2}+\frac{3}{2}}<\frac{3}{2}$。

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四、方程解的个数

题目： 设当 $x>0$ 时，方程 $kx+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $k$ 的取值范围。

解析： 令 $f\left(x\right)=kx+\frac{1}{x^{2}}-1$，则 $f^{\prime}\left(x\right)=k-\frac{2}{x^{3}}$。当 $k\le 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 内单调递减，且 $\lim_{x \to 0^{+}}f\left(x\right)=+\infty$，$\lim_{x \to +\infty}f\left(x\right)<0$，故有唯一解。当 $k>0$ 时，唯一解需满足最小值为 $0$，即 $x=\sqrt[3]{\frac{2}{k}}$ 时 $f\left(x\right)=0$，解得 $k=\frac{2\sqrt{3}}{9}$。故 $k\le 0$ 或 $k=\frac{2\sqrt{3}}{9}$。

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五、函数综合讨论

题目： 设 $y=\frac{x^{3}+4}{x^{2}}$。

（1）求函数的增减区间及极值；
（2）求函数图形的凹凸区间及拐点；
（3）求其渐近线；
（4）作出其图形。

1. 增减区间及极值

解析： 定义域为 $\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)$，且 $y^{\prime}=1-\frac{8}{x^{3}}$。由 $y^{\prime}=0$ 得 $x=2$。故函数在 $\left(-\infty,0\right)$ 与 $\left(2,+\infty\right)$ 内单调增加，在 $\left(0,2\right)$ 内单调减少；当 $x=2$ 时取得极小值，极小值为 $3$。

2. 凹凸区间及拐点

解析： $y^{\prime\prime}=\frac{24}{x^{4}}>0$，故函数图形在 $\left(-\infty,0\right)$ 与 $\left(0,+\infty\right)$ 内均为凹区间，无拐点。

3. 渐近线

解析： 因为 $\lim_{x \to 0}\frac{x^{3}+4}{x^{2}}=+\infty$，所以 $x=0$ 为铅直渐近线。又 $a=\lim_{x \to \infty}\frac{y}{x}=1$，$b=\lim_{x \to \infty}\left(y-x\right)=0$，故 $y=x$ 为斜渐近线。

4. 图形

解析： 根据上述单调性、凹凸性及渐近线描出图形，图示略。

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六、二阶常系数线性微分方程

题目： 求微分方程 $y^{\prime\prime}+a^{2}y=\sin x$ 的通解，其中常数 $a>0$。

解析： 当 $a\ne 1$ 时，齐次方程的通解为 $C_{1}\cos ax+C_{2}\sin ax$，设特解为 $A\cos x+B\sin x$，代入得 $A=0$，$B=\frac{1}{a^{2}-1}$，故通解为 $y=C_{1}\cos ax+C_{2}\sin ax+\frac{1}{a^{2}-1}\sin x$。

当 $a=1$ 时，齐次方程的通解为 $C_{1}\cos x+C_{2}\sin x$，设特解为 $x\left(A\cos x+B\sin x\right)$，代入得 $A=-\frac{1}{2}$，$B=0$，故通解为 $y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x-\frac{1}{2}x\cos x$。

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七、积分不等式证明

题目： 设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上连续且递减，证明：当 $0<\lambda<1$ 时，$\int_{0}^{\lambda}f\left(x\right)\mathrm{~d}x\ge \lambda\int_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{~d}x$。

解析： 令 $x=\lambda t$，则 $\int_{0}^{\lambda}f\left(x\right)\mathrm{~d}x=\lambda\int_{0}^{1}f\left(\lambda t\right)\mathrm{~d}t$。因为 $0<\lambda<1$，所以 $\lambda t<t$；又 $f\left(x\right)$ 递减，故 $f\left(\lambda t\right)\ge f\left(t\right)$。因此 $\int_{0}^{\lambda}f\left(x\right)\mathrm{~d}x\ge \lambda\int_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{~d}x$。

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八、旋转体体积

题目： 求曲线 $y=3-\left|x^{2}-1\right|$ 与 $x$ 轴围成的封闭图形绕直线 $y=3$ 旋转所得的旋转体体积。

解析： 由对称性，只需计算右半部分。曲线在 $\left[0,1\right]$ 上为 $y=x^{2}+2$，在 $\left[1,2\right]$ 上为 $y=4-x^{2}$。因此 $V=2\pi\int_{0}^{2}\left(8+2x^{2}-x^{4}\right)\mathrm{~d}x=2\pi\left(8x+\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right)\left|_{0}^{2}\right.=\frac{448\pi}{15}$。